حل تمرین صفحه 21 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین جامع به شما کمک می‌کند تا هم **تبدیلات نموداری** و هم مفهوم **وارون‌پذیری** را به طور کامل درک کنید. تابع اصلی ما $y = x^3$ است. --- ### الف) رسم نمودار $f(x) = (x-2)^3 + 1$ تابع $f(x)$ از اعمال دو تبدیل بر $y = x^3$ به دست آمده است: 1. **انتقال افقی:** عبارت $(x-2)$ در داخل تابع نشان‌دهنده **2 واحد انتقال به راست** است. 2. **انتقال عمودی:** عبارت $+1$ در خارج تابع نشان‌دهنده **1 واحد انتقال به بالا** است. **نقطه عطف (خم) تابع $x^3$** که در مبدأ $(0, 0)$ قرار دارد، به نقطه جدید **$(2, 1)$** منتقل می‌شود. --- ### ب) وارون‌پذیری و رسم $f^{-1}$ #### 1. اثبات وارون‌پذیری همانطور که می‌دانیم، یک تابع زمانی وارون‌پذیر است که **یک به یک** باشد. * **روش تحلیلی:** اگر $f(x_1) = f(x_2)$، باید بتوانیم نتیجه بگیریم که $x_1 = x_2$: $$(x_1 - 2)^3 + 1 = (x_2 - 2)^3 + 1$$ $$(x_1 - 2)^3 = (x_2 - 2)^3$$ با گرفتن ریشه سوم از طرفین: $$x_1 - 2 = x_2 - 2$$ $$x_1 = x_2$$ پس تابع **یک به یک** و در نتیجه **وارون‌پذیر** است. * **روش نموداری:** نمودار $f(x)$ (شبیه به $y=x^3$) در هیچ نقطه‌ای به صورت خط افقی نیست و همیشه صعودی است. با اعمال **آزمون خط افقی**، می‌بینیم که هر خط افقی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. #### 2. رسم نمودار $f^{-1}$ نمودار $f^{-1}$ **قرینه نمودار $f$ نسبت به خط $y = x$** است. * **انتقال نقطه عطف:** نقطه عطف $f$ از $(2, 1)$ به نقطه **$(1, 2)$** در $f^{-1}$ منتقل می‌شود. --- ### پ) ضابطه $f^{-1}$ برای یافتن ضابطه، جای $x$ و $y$ را در تابع اصلی عوض کرده و برای $y$ حل می‌کنیم: 1. **تابع اصلی:** $$y = (x-2)^3 + 1$$ 2. **جایگزینی:** $$x = (y-2)^3 + 1$$ 3. **حل برای $y$:** $$\text{انتقال 1:} \quad x - 1 = (y-2)^3$$ $$\text{ریشه سوم:} \quad \sqrt[3]{x - 1} = y - 2$$ $$\text{انتقال 2:} \quad y = \sqrt[3]{x - 1} + 2$$ **ضابطه تابع وارون:** $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 2$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا تفاوت‌های ظریف بین مفاهیم **اکیداً صعودی (Strictly Increasing)** و **صعودی (Increasing)** (و همچنین نزولی) را درک کنید. --- ### الف) تحلیل تابع $f(x)$ ⬆️ 1. **اکیداً صعودی:** در این بازه‌ها، نمودار **همیشه بالا می‌رود** و هیچ بخش افقی (ثابت) ندارد. * در بازه $(-\infty, -2)$ و همچنین در بازه $[0, +\infty)$، نمودار اکیداً صعودی است. * **جواب اکیداً صعودی:** $(-\infty, -2]$ و $[0, +\infty)$ 2. **صعودی:** در این بازه‌ها، نمودار **فقط بالا می‌رود یا ثابت است**. * بازه‌های اکیداً صعودی + بازه‌ای که نمودار ثابت است (یعنی $[-2, 0]$) را شامل می‌شود. * **جواب صعودی:** $(-\infty, +\infty)$ (زیرا نمودار در کل دامنه خود یا بالا می‌رود یا ثابت است.) --- ### ب) تحلیل تابع $g(x)$ ⬇️ 1. **اکیداً نزولی:** در این بازه‌ها، نمودار **همیشه پایین می‌آید**. * در بازه $(-\infty, 0]$ (تا نقطه عطف یا راس) نمودار همیشه پایین می‌آید. * **جواب اکیداً نزولی:** $(-\infty, 0]$ 2. **نزولی:** در این بازه‌ها، نمودار **فقط پایین می‌آید یا ثابت است**. * بازه‌های اکیداً نزولی + بازه‌های ثابت. نمودار در بازه $[2, +\infty)$ ثابت است. * **جواب نزولی:** $(-\infty, 0] \cup ERROR ULTRAFUNCTION:Bad Command:2, +\infty)$ (اگر بخش‌های دیگر را در نظر نگیریم، می‌توان بازه $(-\infty, 0$ را نیز به عنوان نزولی نام برد. اما با دقت بیشتر، نمودار در بازه $[0, 2]$ یک خمیدگی رو به بالا دارد که اکیداً نزولی نیست. با توجه به شکل، در $(-\infty, 0]$ اکیداً نزولی و در $[2, +\infty)$ ثابت است.) * **جواب نهایی (نزولی):** $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$ --- ### پ) تحلیل تابع $h(x)$ ↘️ 1. **اکیداً نزولی:** نمودار در هیچ جایی ثابت یا صعودی نیست. در تمام دامنه‌اش (به جز $x=0$) پایین می‌آید. * **دامنه $h$:** $\mathbb{R} - \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ * **جواب اکیداً نزولی:** $(-\infty, 0)$ و $(0, +\infty)$ --- | تابع | اکیداً صعودی | صعودی | اکیداً نزولی | نزولی | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $f(x)$ | $(-\infty, -2]$ و $[0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ | - | - | | $g(x)$ | - | - | $(-\infty, 0]$ | $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$ | | $h(x)$ | - | - | $(-nfty, 0)$ و $(0, +\infty)$ | $(-nfty, 0)$ و $(0, +\infty)$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 22 حسابان دوازدهم **اکیداً یکنوا (Strictly Monotonic)** به تابعی گفته می‌شود که در تمام دامنه‌اش یا **اکیداً صعودی** باشد یا **اکیداً نزولی** (هیچ بخش ثابتی نداشته باشد و جهت تغییر آن عوض نشود). --- ### الف) $f(x) = \sqrt{2-x}$ 1. **تعیین دامنه:** برای توابع رادیکالی با فرجه زوج، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$2 - x \geq 0 \implies x \leq 2$$ دامنه: $D_f = (-\infty, 2]$ 2. **رسم نمودار (تبدیلات):** این تابع از $y = \sqrt{x}$ با دو تبدیل ساخته شده است: * **قرینه افقی:** $y = \sqrt{-x}$ (قرینه نسبت به محور $y$) * **انتقال افقی:** $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$ (2 واحد انتقال به راست) * نمودار از $(2, 0)$ شروع شده و به **چپ و بالا** می‌رود. 3. **بررسی یکنوایی:** با حرکت از چپ به راست (افزایش $x$)، مقادیر $y$ **کاهش** می‌یابند. این تابع در تمام دامنه‌اش $(-\infty, 2]$ **اکیداً نزولی** است. --- ### ب) $g(x) = 2^{-x}$ 1. **تعیین دامنه:** دامنه توابع نمایی $\mathbb{R}$ است. $D_g = \mathbb{R}$ 2. **رسم نمودار (تبدیلات):** این تابع از $y = 2^x$ (پایه $b=2 > 1$) با یک تبدیل ساخته شده است: * **قرینه افقی:** $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$ (قرینه نسبت به محور $y$) * نمودار از محور $y$ قطع می‌کند (در $(0, 1)$) و به سمت راست به محور $x$ نزدیک می‌شود. 3. **بررسی یکنوایی:** این تابع **اکیداً نزولی** است. --- ### پ) $h(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ 1. **تعیین دامنه:** دامنه توابع لگاریتمی فقط شامل اعداد مثبت است: $$x > 0$$ دامنه: $D_h = (0, +\infty)$ 2. **رسم نمودار:** این یک تابع لگاریتمی با پایه $b = \frac{1}{2}$ است. * چون **پایه لگاریتم بین 0 و 1 است** ($0 < \frac{1}{2} < 1$)، تابع یک تابع **اکیداً نزولی** است. * نمودار از محور $x$ در $(1, 0)$ عبور می‌کند. 3. **بررسی یکنوایی:** این تابع در تمام دامنه‌اش $(0, +\infty)$ **اکیداً نزولی** است. --- ### نتیجه‌گیری نهایی هر سه تابع $f(x) = \sqrt{2-x}$، $g(x) = 2^{-x}$ و $h(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ در تمام دامنه‌های خود **یا اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی** هستند. * **همه** این توابع در تمام دامنه‌های خود، **اکیداً یکنوا** هستند. (هر سه مورد اکیداً نزولی هستند.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا تعریف دقیق **یکنوایی** را درک کنید و توابع خاصی را که شرایط مرزی را نقض می‌کنند، تصور کنید. --- ### الف) تابعی که هم صعودی و هم نزولی باشد **بله، چنین تابعی وجود دارد.** * **تابع ثابت (Constant Function):** اگر تابع $f(x) = c$ در یک بازه دلخواه $[a, b]$ در نظر گرفته شود، این تابع **هم صعودی** و **هم نزولی** است. * **چرا؟** * **صعودی:** تابع $f$ صعودی است اگر به ازای $x_1 < x_2$ داشته باشیم $f(x_1) \leq f(x_2)$. در تابع ثابت، $f(x_1) = c$ و $f(x_2) = c$. پس $c \leq c$ که **درست** است. * **نزولی:** تابع $f$ نزولی است اگر به ازای $x_1 < x_2$ داشته باشیم $f(x_1) \geq f(x_2)$. در تابع ثابت، $f(x_1) = c$ و $f(x_2) = c$. پس $c \geq c$ که **درست** است. **پاسخ الف:** بله، **تابع ثابت** (مثل $f(x) = 5$) در هر بازه‌ای **هم صعودی و هم نزولی** است. --- ### ب) تابع صعودی در هر بازه، اما نه اکیداً صعودی در کل دامنه ما نیاز به تابعی داریم که در هر یک از دو بازه $(-\infty, 0)$ و $[0, +\infty)$ **همیشه صعودی باشد (شیب مثبت داشته باشد)**، اما هنگامی که کل دامنه را در نظر می‌گیریم، شرط **اکیداً صعودی** بودن نقض شود. **شرط اکیداً صعودی در $\mathbb{R}$:** اگر $x_1 < x_2$، آنگاه $f(x_1) < f(x_2)$، به ازای تمام $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. اگر **نقطه پرش به پایین** یا **بخش ثابت** داشته باشیم، شرط اکیداً صعودی بودن در کل $\mathbb{R}$ نقض می‌شود. **تابع پیشنهادی (با پرش به پایین):** $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x - 1 & x \geq 0 \end{cases}$$ 1. **بررسی یکنوا در بازه $(-\infty, 0)$:** $f(x) = x+1$ که **اکیداً صعودی** است. 2. **بررسی یکنوا در بازه $[0, +\infty)$:** $f(x) = x-1$ که **اکیداً صعودی** است. 3. **بررسی یکنوا در $\mathbb{R}$:** اگر دو نقطه $x_1 = -1$ و $x_2 = 1$ را در نظر بگیریم. $x_1 < x_2$ است. * $f(x_1) = f(-1) = -1 + 1 = 0$ * $f(x_2) = f(1) = 1 - 1 = 0$ * چون $f(x_1) = f(x_2)$، شرط $f(x_1) < f(x_2)$ نقض می‌شود. در این مثال، می‌توانیم دو نقطه را انتخاب کنیم که $f(x_1) > f(x_2)$ باشد. مثلاً $x_1 = -0.5$ و $x_2 = 0$. $f(-0.5) = 0.5$ و $f(0) = -1$. پس $f(-0.5) > f(0)$. **نتیجه:** در این تابع، $x_1 < x_2$ لزوماً به $f(x_1) < f(x_2)$ منجر نمی‌شود. این تابع **اکیداً صعودی در $\mathbb{R}$ نیست.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین به بررسی خاصیت یکنوایی در **جمع و تفریق توابع** می‌پردازد و یک قضیه مهم را اثبات می‌کند. --- ### الف) اثبات اکیداً صعودی بودن $f + g$ **فرض مسئله:** $f$ و $g$ در بازه $I$ اکیداً صعودی هستند. **تعریف اکیداً صعودی:** برای هر دو نقطه $x_1$ و $x_2$ در بازه $I$، اگر $x_1 < x_2$، آنگاه: 1. $$f(x_1) < f(x_2)$$ 2. $$g(x_1) < g(x_2)$$ **اثبات:** ما باید نشان دهیم که اگر $x_1 < x_2$، آنگاه $(f+g)(x_1) < (f+g)(x_2)$. * **تابع جمع:** $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$ * **مقایسه در $x_1$ و $x_2$:** $$(f+g)(x_1) = f(x_1) + g(x_1)$$ $$(f+g)(x_2) = f(x_2) + g(x_2)$$ * از جمع کردن دو نامساوی اکیداً صعودی در فرض (1 و 2)، داریم: $$f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)$$ * **نتیجه:** $$(f+g)(x_1) < (f+g)(x_2)$$ **اثبات شد:** اگر $f$ و $g$ در بازه‌ای اکیداً صعودی باشند، مجموع آن‌ها $f + g$ نیز در آن بازه **اکیداً صعودی** است. --- ### ب) وضعیت تابع $f - g$ برای تابع $f - g$ نمی‌توان به طور قطعی نظر داد که صعودی است یا نزولی. نتیجه **نامشخص** است و به توابع خاص $f$ و $g$ بستگی دارد. **تابع تفاضل:** $$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$$ **چرا نامشخص؟** در تفریق، نامساوی‌ها تضمینی برای حفظ جهت ندارند. اگر $f(x_1) < f(x_2)$ و $g(x_1) < g(x_2)$ باشد، نمی‌توانیم مطمئن باشیم که $f(x_2) - g(x_2)$ از $f(x_1) - g(x_1)$ بزرگتر است. * **مثال نقض (حالت نزولی):** * فرض کنید $f(x) = x$ (با شیب 1) و $g(x) = 2x$ (با شیب 2). * هر دو $f$ و $g$ اکیداً صعودی هستند. * تابع تفاضل: $f(x) - g(x) = x - 2x = -x$ * تابع $y = -x$ **اکیداً نزولی** است. * **مثال دیگر (حالت صعودی):** * فرض کنید $f(x) = 2x$ و $g(x) = x$. * هر دو $f$ و $g$ اکیداً صعودی هستند. * تابع تفاضل: $f(x) - g(x) = 2x - x = x$ * تابع $y = x$ **اکیداً صعودی** است. **پاسخ ب:** در مورد تابع $f - g$ نمی‌توان نتیجه قطعی گرفت. ممکن است **اکیداً صعودی، اکیداً نزولی یا حتی ثابت** باشد. (برای مثال ثابت، اگر $f(x) = x+5$ و $g(x) = x$ باشد، $f-g = 5$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین یک کاربرد مستقیم از **قضیه باقی‌مانده (Remainder Theorem)** برای حل معادلات با مجهول است. --- ### 💡 قضیه باقی‌مانده باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای $f(x)$ بر $(x - a)$ برابر است با $f(a)$. ### مراحل حل #### گام 1: شناسایی مقادیر * **چندجمله‌ای ($f(x)$):** $$f(x) = x^3 + kx^2 + 2$$ * **مقسوم‌علیه ($x-a$):** $$x - 2$$ که در آن $a = 2$. * **باقی‌مانده ($r$):** $$r = 6$$ #### گام 2: تشکیل معادله با استفاده از قضیه باقی‌مانده بر اساس قضیه باقی‌مانده، باقی‌مانده تقسیم برابر است با $f(2)$: $$r = f(2) = 6$$ حالا $x=2$ را در $f(x)$ جایگزین و عبارت را برابر 6 قرار می‌دهیم: $$f(2) = (2)^3 + k(2)^2 + 2 = 6$$ #### گام 3: حل معادله برای $k$ $$\text{محاسبات توان:} \quad 8 + 4k + 2 = 6$$ $$\text{جمع ثابت‌ها:} \quad 10 + 4k = 6$$ $$\text{انتقال 10:} \quad 4k = 6 - 10$$ $$\text{محاسبه:} \quad 4k = -4$$ $$\text{نتیجه:} \quad k = \frac{-4}{4} \implies k = -1$$ **پاسخ نهایی:** مقدار $k$ برابر با **$-1$** است. (تابع $f(x)$ برابر $x^3 - x^2 + 2$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین از **قضیه باقی‌مانده** برای ایجاد یک دستگاه دو معادله و دو مجهول استفاده می‌کند. شرط **بخش‌پذیری** این است که باقی‌مانده تقسیم برابر با صفر باشد. --- ### 💡 شرط بخش‌پذیری اگر $f(x)$ بر $(x-a)$ بخش‌پذیر باشد، آنگاه $f(a) = 0$. ### مراحل حل **چندجمله‌ای:** $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$$ #### شرط 1: بخش‌پذیری بر $x - 2$ ریشه مقسوم‌علیه اول $x - 2$، برابر با $x = 2$ است. باید $f(2) = 0$ باشد: $$f(2) = (2)^3 + a(2)^2 + b(2) + 1 = 0$$ $$8 + 4a + 2b + 1 = 0$$ $$\text{معادله 1:} \quad 4a + 2b = -9$$ #### شرط 2: بخش‌پذیری بر $x + 1$ ریشه مقسوم‌علیه دوم $x + 1$، برابر با $x = -1$ است. باید $f(-1) = 0$ باشد: $$f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 0$$ $$-1 + a - b + 1 = 0$$ $$\text{معادله 2:} \quad a - b = 0 \implies a = b$$ #### حل دستگاه معادلات حالا دستگاه دو معادله را حل می‌کنیم: 1. $$4a + 2b = -9$$ 2. $$a = b$$ مقدار $a$ را از معادله (2) در معادله (1) جایگزین می‌کنیم: $$4a + 2(a) = -9$$ $$6a = -9$$ $$a = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}$$ چون $a = b$ است، مقدار $b$ نیز همین خواهد بود: $$b = -\frac{3}{2}$$ **پاسخ نهایی:** مقادیر $a$ و $b$ به ترتیب $\mathbf{-\frac{3}{2}}$ و $\mathbf{-\frac{3}{2}}$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 22 حسابان دوازدهم برای تجزیه چندجمله‌ای‌ها بر حسب یک عامل خطی داده شده، از **اتحاد تعمیم یافته تفاضل/مجموع توان‌های همسان** استفاده می‌کنیم (که خارج قسمت تقسیم را به ما می‌دهد). --- ### الف) تجزیه $x^6 - 1$ با عامل $x - 1$ این حالت $\mathbf{x^n - a^n}$ است که در آن $n=6$ و $a=1$. اتحاد به شکل زیر است (با علائم همگی مثبت در پرانتز دوم): $$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1})$$ $$x^6 - 1^6 = (x-1)(x^5 + 1x^4 + 1^2x^3 + 1^3x^2 + 1^4x + 1^5)$$ $$\text{تجزیه نهایی: } x^6 - 1 = (x-1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$ --- ### ب) تجزیه $x^6 - 1$ با عامل $x + 1$ این حالت $\mathbf{x^n - a^n}$ است که در آن $n=6$ (زوج) و $a=1$. اتحاد به شکل $x^n - a^n = (x+a)(\dots)$ با **علامت‌های متناوب** در پرانتز دوم است: $$x^n - a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots - a^{n-1})$$ $$x^6 - 1^6 = (x+1)(x^5 - 1x^4 + 1^2x^3 - 1^3x^2 + 1^4x - 1^5)$$ $$\text{تجزیه نهایی: } x^6 - 1 = (x+1)(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)$$ --- ### پ) تجزیه $x^5 + 32$ با عامل $x + 2$ این حالت $\mathbf{x^n + a^n}$ است که در آن $n=5$ (فرد) و $a$ باید ریشه پنجم 32 باشد. $2^5 = 32$، پس $a=2$. اتحاد به شکل $x^n + a^n = (x+a)(\dots)$ با **علامت‌های متناوب** در پرانتز دوم است: $$x^n + a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - \dots + a^{n-1})$$ $$x^5 + 32 = x^5 + 2^5$$ $$x^5 + 2^5 = (x+2)(x^{5-1} - 2x^{5-2} + 2^2x^{5-3} - 2^3x^{5-4} + 2^4)$$ $$\text{تجزیه نهایی: } x^5 + 32 = (x+2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 9 صفحه 22 حسابان دوازدهم این تمرین به تعریف دقیق **تابع اکیداً نزولی** و کاربرد آن در حل **نامعادلات نمایی** می‌پردازد. --- ### الف) اثبات نامساوی تابع اکیداً نزولی ⬇️ **تعریف تابع اکیداً نزولی:** یک تابع $f$ در بازه $I$ اکیداً نزولی است، اگر به ازای هر دو نقطه $x_1$ و $x_2$ در $I$ داشته باشیم: $$\text{اگر } x_1 < x_2 \text{، آنگاه } f(x_1) > f(x_2)$$ **اثبات مسئله:** فرض مسئله این است که $a$ و $b$ در بازه اکیداً نزولی قرار دارند و **$a \geq b$**. ما باید نشان دهیم که $f(a) \leq f(b)$. 1. **حالت اول: $a > b$ (اکیداً نزولی)** * چون $b < a$ و تابع اکیداً نزولی است، باید نامساوی جهت عوض کند: $$f(b) > f(a) \implies f(a) < f(b)$$ 2. **حالت دوم: $a = b$ (نزولی)** * اگر $a = b$ باشد، آنگاه $f(a) = f(b)$. **نتیجه‌گیری:** با ترکیب دو حالت $f(a) < f(b)$ و $f(a) = f(b)$، نتیجه می‌گیریم: $$\text{اگر } a \geq b \text{، آنگاه } f(a) \leq f(b)$$ **اثبات شد:** برای یک تابع اکیداً نزولی، اگر ورودی بزرگتر یا مساوی باشد، خروجی کوچکتر یا مساوی خواهد بود. --- ### ب) حل نامعادله نمایی نامعادله داده شده: $$(\frac{1}{2})^{3x-2} \leq \frac{1}{64}$$ #### گام 1: هم‌پایه کردن طرفین نامعادله باید عدد $\frac{1}{64}$ را به صورت توانی از $\frac{1}{2}$ بنویسیم: $$\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$ نامعادله به صورت زیر در می‌آید: $$(\frac{1}{2})^{3x-2} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^6$$ #### گام 2: مقایسه توان‌ها و تغییر جهت نامساوی تابع نمایی $y = b^x$ با پایه $b = \frac{1}{2}$ است. * **نکته کلیدی:** چون **پایه** $\mathbf{b = \frac{1}{2}}$ **بین 0 و 1 است** (یعنی $0 < b < 1$)، تابع $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ یک **تابع اکیداً نزولی** است. * در توابع نزولی، هنگام حذف پایه، **جهت نامساوی باید عوض شود** (دقیقاً بر اساس اثبات بخش الف). $$3x - 2 \geq 6$$ #### گام 3: حل نامعادله خطی $$3x \geq 6 + 2$$ $$3x \geq 8$$ $$x \geq \frac{8}{3}$$ **پاسخ نهایی:** حدود $x$ به صورت $\mathbf{x \geq \frac{8}{3}}$ است، یا به شکل بازه‌ای $\mathbf{[\frac{8}{3}, +\infty)}$.